已知，如图，O是△ABC的外接圆，OD⊥BC交O于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，交O于点H，AD与CH相交于点G，延长CH到点M，使MH=HG，延长DA到点K，使AK=AG，CA的延长线交MK于点F，求证：ME=MF．

Question

已知，如图， O是△ABC的外接圆，OD⊥BC交 O于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，交 O于点H，AD与CH相交于点G，延长CH到点M，使MH=HG，延长DA到点K，使AK=AG，CA的延长线交MK于点F，求证：ME=MF．

Answer 1

证明：如图，连接AH、AM．

∵OD⊥BC，
∴

DB

=

DC

，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BCH=∠ACH，∠BCH=∠BAH，
∴∠BAH=∠ACH，
∵∠HGA=∠ACH+∠CAG，∠HAG=∠BAH+∠BAD，
∴∠HGA=∠HAG，
∴HA=GH=HM，
∴△MAG是直角三角形，
∴MA⊥KG，
∵AG=AK，
∴MG=MK，
∴∠AGE=∠K，
∵∠FAK=∠CAD，∠BAD=∠DAC，
∴∠EAG=∠FAK，
在△AGE和△AKF中，

∠AGE=∠K

AG=AK

∠EAG=∠FAK

，
∴△AGE≌△AKF，
∴EG=FK，∵MG=MK，
∴ME=MF．