（2014•上海模拟）已知：如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点P在边AC上，且AP=12AB，联结BP，以BP为一边作△BPQ（点B、P、Q按逆时针排列），点G是△BPQ的重心，联结BG，∠PBG=∠BCA，∠QBG=∠BAC，联结

Question

（2014•上海模拟）已知：如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点P在边AC上，且AP=(1)/(2)AB，联结BP，以BP为一边作△BPQ（点B、P、Q按逆时针排列），点G是△BPQ的重心，联结BG，∠PBG=∠BCA，∠QBG=∠BAC，联结CQ并延长，交边AB于点M．设PC=x，(MQ)/(MC)=y．
（1）求(BP)/(BQ)的值；
（2）求y关于x的函数关系式．

Answer 1

（1）延长BG，交边PQ于点D，由点G是△BPQ的重心，可知PD=DQ，
延长BD至点E，使DE=BD，连接PE，
∵PD=DQ，DE=BD，∠PDE=∠QDB，
∴△PDE≌△QDB，
∴PE=BQ，∠PED=∠QBD，
∵∠QBG=∠BAC，
∴∠PED=∠BAC，
∵∠PBG=∠BCA，
∴△BPE∽△CBA，
∴(BP)/(PE)=(BC)/(AB)=(5)/(4)，
∴(BP)/(BQ)=(5)/(4)；

（2）延长AB至点F，使BF=AB，连接QF，过点Q作QH∥AC，交边AB于点H，
∵(BP)/(BQ)=(5)/(4)，(BC)/(BF)=(5)/(4)，
∴(BP)/(BQ)=(BC)/(BF)，
∵∠PBQ=∠BAC+∠BCA，∠CBF=∠BAC+∠BCA，
∴∠PBQ=∠CBF，
∴∠PBC=∠QBF，
∴△PBC∽△QBF，
∴∠BCP=∠BFQ，(PC)/(QF)=(BP)/(BQ)=(5)/(4)，
∵HQ∥AC，
∴∠BHQ=∠BAC，
∴△FQH∽△CBA，
∴(QF)/(HQ)=(BC)/(AB)=(5)/(4)，
∴(PC)/(QF)•(QF)/(HQ)=（(5)/(4)）²，即(PC)/(HQ)=(25)/(16)，
∴HQ=(16)/(25)PC=(16)/(25)x，
∵HQ∥AC，
∴(MQ)/(MC)=(HQ)/(AC)，即y=

作业帮用户 2017-10-19 举报

问题解析

（1）延长BG，交边PQ于点D，延长BD至点E，使DE=BD，连接PE，先证出△PDE≌△QDB，得出PE=BQ，∠PED=∠QBD，再证出△BPE∽△CBA，得出

(BP)/(PE)=(BC)/(AB)=(5)/(4)，即可证出(BP)/(BQ)=(5)/(4)；
（2）延长AB至点F，使BF=AB，连接QF，过点Q作QH∥AC，交边AB于点H，证出(BP)/(BQ)=(BC)/(BF)，再根据∠PBC=∠QBF，证出△PBC∽△QBF，得出∠BCP=∠BFQ，(PC)/(QF)=(BP)/(BQ)=(5)/(4)，再根据(QF)/(HQ)=(BC)/(AB)=(5)/(4)，得出(PC)/(QF)•(QF)/(HQ)=（(5)/(4)）²，从而求出HQ=(16)/(25)PC=(16)/(25)x，最后根据(MQ)/(MC)=(HQ)/(AC)得出y=((16)/(25)x)/(x+2)，再进行整理即可．

名师点评

本题考点：

相似形综合题．

考点点评：

此题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的重心，关键是做出辅助线，构造相似三角形．

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