已知a是不为零的常数，二次函数g（x）=ax2-x的定义域为R，函数y=g（x-4）为偶函数．函数f（x）=ax2+x的定义域为[m，n]（m＜n）．（1）求a的值；（2）当m=0、n=12时，求函数f（x）的值域；（3）是

Question

已知a是不为零的常数，二次函数g（x）=ax²-x的定义域为R，函数y=g（x-4）为偶函数．函数f（x）=ax²+x的定义域为[m，n]（m＜n）．
（1）求a的值；
（2）当m=0、n=12时，求函数f（x）的值域；
（3）是否存在实数m、n，使函数f（x）的值域为[3m，3n]？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由于g（x-4）=a（x-4）²-（x-4）=ax²-（8a+1）x+16a+4，
由y=g（x-4）为偶函数，
则二次函数的一次项系数为0，知-（8a+1）=0，
∴a=-(1)/(8)．                                              
（2）f（x）=-(1)/(8)x2+x＝−(1)/(8)(x−4)2+2，对称轴为直线x=4．   
当m=0、n=12时，定义域为[0，12]．
在[0，4]上f（x）递增，此时函数值的集合为[f（0），f（4）]，即[0，2]；
在[4，12]上f（x）递减，此时函数值的集合为[f（12），f（4）]，即[-6，2]；
所以，当m=0、n=12时，函数f（x）的值域为[-6，2]．                  
（3）存在实数m、n，使函数f（x）的值域为[3m，3n]．讨论如下：
①当n≤4时，函数f（x）在[m，n]递增，则函数值域为[f（m），f（n）]，
则

f(m)＝−(1)/(8)m2+m＝3m

f(n)＝−(1)/(8)n2+n＝3n

，
即m、n是方程−(1)/(8)x2+x＝3x的两根，而方程−(1)/(8)x2+x＝3x的两根是0、-16，
所以由m＜n，得，m=-16、n=0．       
②当n＞4时，
若m≤4，函数的最大值为f（4）=2=3n，则n＝(2)/(3)，相互矛盾．     
若m＞4，函数f（x）在[m，n]递减，则函数值域为[f（n），f（m）]，
故

f(m)＝−(1)/(8)n2+n＝3m

f(n)＝−(1)/(8)m2+m＝3n

．
两式相减后，变形得（m-n）（m+n-32）=0，而m-n＜0，
所以，m+n-32=0，即n=32-m，
代入−(1)/(8)m2+m＝3n得m²-32m+768=0，此方程无实解，此时不存在m、n． 
综上所述，存在实数m=-16、n=0，使函数f（x）的值域为[3m，3n]．