已知函数f（x）=lnx，g（x）=m(x+n)x+1（m>0）．（Ⅰ）若函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处有相同的切线，求m的值；（Ⅱ）若函数y=f（x）-g（x）在定义域内不单调，求m-n的取值范围；（Ⅲ）若∀x&g

Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=(m(x+n))/(x+1)（m>0）．
（Ⅰ）若函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处有相同的切线，求m的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-g（x）在定义域内不单调，求m-n的取值范围；
（Ⅲ）若∀x>0，恒有|f（x）|≥|g（x）|成立，求实数m的最大值．

Answer 1

（I）函数y=f（x）在x=1处的切线方程为y=x-1，
由g（1）=0得n=-1，由g'（1）=1得m=2；
（II）y'=f'（x）-g'（x）=(x2+[2-m(1-n)]x+1)/(x(x+1)2)，
因为y=f（x）-g（x）在定义域内不单调，所以
h（x）=x²+[2-m（1-n）]x+1 在（0，+∞）内有至少一个实根且曲线与x不相切．
因为h（0）=1>0，于是[2-m（1-n）]²-4>0；
∴m（1-n）>4或m（1-n）<0；
由m（1-n）>4知m+（1-n）≥2√(m(1-n))>2√(4)，所以m-n>3；
（III）当x=1时，由|f（1）|≥|g（1）|得n=1，当x>1时，f（x）>0，g（x）>0；
当0<x<1时，f（x）<0，g（x）<0；
令k（x）=f（x）-g（x），则问题转化为：
当x>1时，k（x）≥0恒成立，当0<x<1时，k（x）≤0恒成立；
而k（x）=(x+2-2m+(1)/(x))/((x+1)2)，当x≥1时，函数y=x+2-2m+(1)/(x)是单调函数，最小值为4-2m，
为使k（x）≥0恒成立，注意到k（1）=0，所以4-2m≥0，即m≤2；
同理，当0<x<1时，m≤2；
综上：m≤2．