一个三阶等差数列的前n项为1,2,8,22,47,86,...,则其通项为

Question

一个三阶等差数列的前n项为1,2,8,22,47,86,...,则其通项为

Answer 1

设 bn=a(n+1)-an,由已知数据,得bn 为数列 1,6,14,25,39
cn=b(n+1)-bn ,由上面数据,得cn为数列 5,8,11,14
cn的通项公式为 cn=5+(n-1)3=3n+2
则 b(n+1)-bn=3n+2
bn-b(n-1)=3(n-1)+2=3n-1
.
b2-b1=5
累加上述等式
bn-b1=[(3n+4)(n-1)/2]+1
bn=(3n^2+n-2)/2
同样的处理方法
a(n+1)-an=(3n^2+n-2)/2
an-a(n-1)=[3(n-1)^2+n-1-2)]/2
.
a2-a1=[3*1+1-2]/2
再使用累加法
得an-a1=(3/2)[(n-1)^2+(n-2)^2+.+1]+(1/2)[(n-1)+.+1]-n
=(n-1)n(2n-1)/4+n(n-1)/4-n
=(1/4)[2n^3-2n^2-4n]+1
an=(1/2)[n^3-n^2-2n]+2
此通项公式即为 题目中三阶等差数列的通项公式.
本题当然也可用待定系数法来求解.