已知函数f（x）=2xx−1，x∈（1，+∞）（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．（2）当x∈[2，4]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围．

Question

已知函数f（x）=(2x)/(x−1)，x∈（1，+∞）
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．
（2）当x∈[2，4]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

（1）函数f（x）x∈（1，+∞）是单调递减函数．
证明如下：任取1＜x₁＜x₂，
∵f（x）=(2x)/(x−1)，
∴f（x₁）-f（x₂）=(2x1)/(x1−1)-(2x2)/(x2−1)
=(2(x2−x1))/((x1−1)(x2−1))，
∵1＜x₁＜x₂
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函数f（x）x∈（1，+∞）是单调递减函数．
（2）∵当x∈[2，4]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，
∴m＜(2x)/(x−1)-2x=(−2x2+4x)/(x−1)恒成立，
设h（x）=(−2x2+4x)/(x−1)，则m＜[h（x）]_min，
∴h′（x）=(−2x2+8x−8)/((x−1)2)=(−2(x−2)2)/((x−1)2)，
∵x∈[2，4]，∴h′（x）＜0，
∴h（x）在[2，4]上是减函数，
∴h（x）的值域为[h（4），h（2）]，即[-(16)/(3)，0]，
∴m＜-(16)/(3)．