已知函数f（x）=xx−1．（1）用函数单调性定义证明f(x)＝xx−1在（1，+∞）上是单调减函数；（2）求函数f(x)＝xx−1在区间[3，4]上的最大值与最小值．

Question

已知函数f（x）=(x)/(x−1)．
（1）用函数单调性定义证明f(x)＝(x)/(x−1)在（1，+∞）上是单调减函数；
（2）求函数f(x)＝(x)/(x−1)在区间[3，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

（1）证明：设x₁，x₂为区间（1，+∞）上的任意两个实数，且1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=(x1)/(x1−1)-(x2)/(x2−1)=(x2−x1)/((x1−1)(x2−1))
∵1＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f(x)＝(x)/(x−1)在（1，+∞）上是单调减函数
（2）由（1）可知，函数f(x)＝(x)/(x−1)在[3，4]上为单调递减函数
所以在x=3时，函数f(x)＝(x)/(x−1)取得最大值(3)/(2)；在x=4时，函数f(x)＝(x)/(x−1)取得最小值(4)/(3)．