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已知函数f(x)=xx−1.(1)用函数单调性定义证明f(x)=xx−1在(1,+∞)上是单调减函数;(2)求函数f(x)=xx−1在区间[3,4]上的最大值与最小值.
题目详情
已知函数f(x)=
.
(1)用函数单调性定义证明f(x)=
在(1,+∞)上是单调减函数;
(2)求函数f(x)=
在区间[3,4]上的最大值与最小值.
x |
x−1 |
(1)用函数单调性定义证明f(x)=
x |
x−1 |
(2)求函数f(x)=
x |
x−1 |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:设x1,x2为区间(1,+∞)上的任意两个实数,且1<x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
-
=
∵1<x1<x2,∴x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0
∴f(x1)>f(x2)
∴f(x)=
在(1,+∞)上是单调减函数
(2)由(1)可知,函数f(x)=
在[3,4]上为单调递减函数
所以在x=3时,函数f(x)=
取得最大值
;在x=4时,函数f(x)=
取得最小值
.
则f(x1)-f(x2)=
x1 |
x1−1 |
x2 |
x2−1 |
x2−x1 |
(x1−1)(x2−1) |
∵1<x1<x2,∴x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0
∴f(x1)>f(x2)
∴f(x)=
x |
x−1 |
(2)由(1)可知,函数f(x)=
x |
x−1 |
所以在x=3时,函数f(x)=
x |
x−1 |
3 |
2 |
x |
x−1 |
4 |
3 |
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