如图，过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．（1）求证：E为BC的中点；（2）若CF=3，DE•EF=154，求EF的长．

Question

如图，过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．
（1）求证：E为

BC

的中点；
（2）若CF=3，DE•EF=(15)/(4)，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OE
OA=OE=＞∠OAE=∠OEA
DE切圆O于E=＞OE⊥DE
AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°
=＞∠EAD=∠OEA
⇒OE∥AD
=＞E为

BC

的中点．

（2）连CE，则∠AEC=90°，设圆O的半径为x
∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞
DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA
∴(DE)/(AD)＝(CE)/(AE)，(CE)/(AE)＝(CF)/(EF)
∴(DE)/(AD)＝(CF)/(EF)
即DE•EF=AD•CF
DE•EF=(15)/(4)，CF=3
∴AD=(5)/(4)
OE∥AD=＞(OE)/(AD)＝(OF)/(AF)=＞(x)/((5)/(4))＝(x+3)/(2x+3)=＞8x²+7x-15=0
∴x₁=1，x₂=-(15)/(8)（舍去）
∴EF²=FC•FA=3x（3+2）=15
∴EF=√(15)