如图，以线段AB为直径作O，CD与O相切于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC．（1）求证：AC是O的切线；（2）若BD=OB=4，求弦AE的长．

Question

如图，以线段AB为直径作 O，CD与 O相切于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC．
（1）求证：AC是 O的切线；  
（2）若BD=OB=4，求弦AE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OE，
∵CD与圆O相切，
∴OE⊥CD，
∴∠CEO=90°，
∵BE∥OC，
∴∠AOC=∠OBE，∠COE=∠OEB，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠AOC=∠COE，
在△AOC和△EOC中，

OA=OE

∠AOC=∠COE

OC=OC

，
∴△AOC≌△EOC（SAS），
∴∠CAO=∠CEO=90°，
则AC与圆O相切；
（2）在Rt△DEO中，BD=OB，
∴BE=(1)/(2)OD=OB=4，
∵OB=OE，
∴△BOE为等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE=BE•tan60°=4√(3)．