如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等，已知BE=AD=4，求△ABC三边之长．

Question

如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等，已知BE=AD=4，求△ABC三边之长．

Answer 1

如图，设AD、BE相交于点G，取CE的中点F，连接DF，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴DF是△BCE的中位线，
∴DF∥BE，DF=(1)/(2)BE=(1)/(2)×4=2，
∵BE是∠ABC的平分线，BE⊥AD，
∴AG=GD=(1)/(2)AD=(1)/(2)×4=2，
∴GE是△ADF的中位线，
∴GE=(1)/(2)DF=(1)/(2)×2=1，
∵BE=4，
∴BG=BE-GE=4-1=3，
在Rt△ABE中，AB=√(AG2+BG2)=√(22+32)=√(13)，
∵BE是∠ABC的平分线，BE⊥AD，
∴BE垂直平分AD，
∴BD=AB=√(13)，
∵AD是△ABC的中线，
BC=2BD=2√(13)，
在Rt△AEG中，AE=√(AG作业帮用户2016-12-08举报问题解析设AD、BE相交于点G，取CE的中点F，连接DF，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF∥BE，DF=(1)/(2)BE，然后判断出GE是△ADF的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得GE=(1)/(2)DF，再求出BG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AB，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BD=AB，再根据BC=2BD求出BC的长度，利用勾股定理列式求出AE，然后根据AE=EF=CF求出AC，从而得解．名师点评本题考点：三角形中位线定理；勾股定理．考点点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，三角形的中线的定义，等腰三角形三线合一的性质，熟记定理与各性质并作辅助线构造出中位线的三角形是解题的关键．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)