在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别是x=4t2y=4t（t是参数）和x=cosφy=1+sinφ（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的

Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁和C₂的参数方程分别是

x=4t2

y=4t

（t是参数）和

x=cosφ

y=1+sinφ

（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）射线OM：θ=α（α∈[(π)/(6)，(π)/(4)]）与曲线C₁的交点为O，P，与曲线C₂的交点为O，Q，求|OP|•|OQ|的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）C₁的普通方程为y²=4x，
C₂的普通方程为x²+（y-1）²=1，C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得C₁的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ，
与直线θ=α联立可得：ρ=(4cosα)/(sin2α)，即|OP|=(4cosα)/(sin2α)，
同理可得|OQ|=2sinα．
所以|OP|•|OQ|=(8)/(tanα)，在α∈[(π)/(6)，(π)/(4)]上单调递减，
所以|OP|•|OQ|的最大值是8√(3)．