已知直线：为参数),曲线（为参数）.（1）设与相交于两点,求；（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一

Question

已知直线 ： 为参数), 曲线  （ 为参数）.
（1）设 与 相交于 两点,求 ；
（2）若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 ,设点 是曲线 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.

Answer 1

已知直线 ： 为参数), 曲线  （ 为参数）.
（1）设 与 相交于 两点,求 ；
（2）若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 ,设点 是曲线 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.

（1） ；（2） .

试题分析：本题考查直角坐标系与极坐标系之间的互化、参数方程的几何意义、三角函数的值域、函数图像的平移等基础知识，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，由参数方程和普通方程的互化公式消参得出 和 的普通方程，由于两图像相交，所以联立求交点，再利用两点间距离公式求 ；第二问，根据已知先得到曲线 的参数方程，写出点P的坐标，利用点到直线的距离公式求距离，再利用三角函数的有界性求函数的最值.
试题解析：（1） 的普通方程为 的普通方程为
联立方程组 解得 与 的交点为 , ,
则 .
（2） 的参数方程为 为参数).故点 的坐标是 ,
从而点 到直线 的距离是 ,
由此当 时, 取得最小值,且最小值为 .