已知椭圆曲线C：x²/4+y²/3=1,已知M(1,0)、N(b,0)是x轴上两个定点动直线l:x=a(|a|≤2)与曲线C交于P、Q是否存在常数b,使得点R的轨迹是中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线?若存在,求出b的值.若

Question

已知椭圆曲线C：x²/4+y²/3=1
,已知M(1,0)、N(b,0)是x轴上两个定点动直线l:x=a(|a|≤2)与曲线C交于P、Q
是否存在常数b,使得点R的轨迹是中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线?若存在,求出b的值.若不存在,请说出理由.：
再如何推出b=-1

Answer 1

不存在.
仍然用拉伸法.若R的轨迹是椭圆,那么将y坐标适当地伸缩,必可使椭圆变成圆.
设P伸缩到P'(2secθ,htgθ),Q伸缩到Q'(-2secθ,-htgθ)
P'M的斜率k1=htgθ/(2secθ-1)=hsinθ/(2-cosθ),
Q'N的斜率k2=-htgθ(2secθ-b)=-hsinθ/(2+bcosθ)
要使k1.k2=-1,必须h²sin²θ≡(2-cosθ)(2+bcosθ),即h²-h²cos²θ=4+2(b-1)cosθ-b²cos²θ.比较系数知b不存在常数解.