幂指函数y=f（x）g（x）在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得lny=g（x）lnf（x），两边求导数得y′y=g′（x）lnf（x）+g（x）f′(x)f(x)，于是y′=f（x）g（x）•[g′（x）lnf

Question

幂指函数y=f（x）^g（x）在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y=g（x）ln f（x），两边求导数得(y′)/(y)=g′（x）ln f（x）+g（x）(f′(x))/(f(x))，于是y′=f（x）^g（x）•[g′（x）lnf（x）+g（x）(f′(x))/(f(x))]．运用此法可以探求得知y=x(1)/(x)的一个单调递增区间为（　　）

A．（0，2）
B．（2，3）
C．（e，4）
D．（3，8）

Answer 1

仿照题目给定的方法，f（x）=x，φ（x）=(1)/(x)，
所以f′（x）=1，φ′（x）=-(1)/(x2)，
由于y′=f（x）φ（x）[φ′（x）lnf（x）+φ（x）(f′(x))/(f(x))]，
所以y′=x(1)/(x)（-(1)/(x2)lnx+(1)/(x)•(1)/(x)）=x(1)/(x)•(1−lnx)/(x2)，
∵x＞0，∴x(1)/(x)＞0，x²＞0，
∴要使y′＞0，只要 1-lnx＞0，解得：x∈（0，e）
故y=x(1)/(x) 的一个单调递增区间为：（0，e），
故选：A．