高中数学奥林匹克小丛书组合的一道题,（绝对有加分）把n个不同的球,分别放入m个盒子中,使其中m1个盒子中都有p1个球,m2个盒子中都有p2个球……mk个盒子中都有pk个球.这里m=m1+m2+……+mk,n=m1p1

Question

高中数学奥林匹克小丛书组合的一道题,（绝对有加分）
把n个不同的球,分别放入m个盒子中,使其中m1个盒子中都有p1个球,m2个盒子中都有p2个球……mk个盒子中都有pk个球.这里m=m1+m2+……+mk,n=m1p1+m2p2+
……mkpk,求下列情况各有多少种放法?
1盒子均不形同（即可辨）
2装有相同数目的球的盒子相同（即不可辨）
1、我们先考虑把n个球放入m个盒内都作直线排列,其排列数为n!,我们把这种排列的产生分为下列几步
第1步,将n个球放入m个盒内,符合题目要求,设有f种放入法
第2步,将m1个盒子中的每个盒内均放有的p1个球作直线排列,有(p1!)^m1种排法
第3步 将m2个盒子中的每个盒子内均装有的p2个球都做直线排列,有（p2!）^m2种排法
…第k+1步,将mk个盒子中的每个盒子内均装有的pk个球都做直线排列,有(pk!)^mk种排法.
由乘法原理得 fx(p1!)^m1x(p2!)^m2x……x(pk!)^mk=n!
所以符合题目要求的放法数目为f=n!/(p1!)^m1x(p2!)^m2x……x(pk!)^mk
2、因为装有相同个数球的盒子不可辨,（它们之间交换顺序是同一种装球方法）,故符合题意的方法数为
f/(m1!)(m2!)…（mk!)

Answer 1

可能只能姑且理解为题意是前m1个盒子中都有p1个球,之后m2个盒子中都有p2个球……
要不然把n个球放入m个盒内不会只有n!种排列方法吧,貌似只能理解为放p1个球的盒子不能与放p2个球的盒子交换……