已知函数f（X）=x2+aex（x∈R）（e是自然对数的底数）．（1）当a=-15时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间[1e，e]上是增函数，求实数a的取值范围；（3）证明1+12e+1+22e2+1+32e3+…+1+n2en＜5

Question

已知函数f（X）=(x2+a)/(ex)（x∈R）（e是自然对数的底数）．
（1）当a=-15时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间[(1)/(e)，e]上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）证明(1+12)/(e)+(1+22)/(e2)+(1+32)/(e3)+…+(1+n2)/(en)＜(5n)/(4√(e))对一切n∈N^*恒成立．

Answer 1

（1）当a=-15时，f（x）=（x²-15）e^-x，
f'（x）=（-x²+2x+15）e^-x=-（x-5）（x+3）e^-x，
由f'（x）＞0，解得-3＜x＜5，
∴f（x）在区间（-3，5）上单调递增，
在区间（-∞，3），（5，+∞）上单调递减．…（4分）
（2）f'（x）=-（x²-2x+a）e^-x，
由题意得当(1)/(e)≤x≤e时，f'（x）≥0，
∴x²-2x+a≤0恒成立，
令g（x）=x²-2x+a，有

g((1)/(e))≤0

g(e)≤0

，得a≤2e-e²，
∴a的范围是（-∞，2e-e²]．…（9分）
（3）证明：令a=1得f(x)＝(x2+1)/(ex)，f'（x）=-（x²-1）²e^-x≤0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
对于任意k∈N*，都有k＞(1)/(2)，故有f(k)＜f((1)/(2))，
即(k2+1)/(ek)＜(5)/(4√(e))⇒

n

k＝1

(k2+1)/(ek)＜(5n)/(4√(e))，
∴(1+12)/(e)+(1+22)/(作业帮用户2017-10-18举报问题解析（1）当a=-15时，f'（x）=（-x2+2x+15）e-x=-（x-5）（x+3）e-x，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（2）f'（x）=-（x2-2x+a）e-x，由题意得当(1)/(e)≤x≤e时，f'（x）≥0，从而x2-2x+a≤0恒成立，由此构造函数能求出a的范围．（3）令a=1，得f'（x）=-（x2-1）2e-x≤0，由此利用导数性质能证明(1+12)/(e)+(1+22)/(e2)+(1+32)/(e3)+…+(1+n2)/(en)＜(5n)/(4√(e))对一切n∈N*恒成立名师点评本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．考点点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要注意导数性质、构造法和分类讨论思想的合理运用．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)