高数超难证明题!无穷级数证明难题求解!

Question

高数超难证明题!无穷级数证明难题求解!

Answer 1

先证必要性:当∑{1 ≤ n} n/(a[1]+a[2]+...+a[n])收敛.
由数列{a[n]}单调递增,得a[1]+a[2]+...+a[n] ≤ n·a[n].
又{a[n]}为正项数列,有1/a[n] ≤ n/(a[1]+a[2]+...+a[n]).
根据比较判别法,由∑{1 ≤ n} n/(a[1]+a[2]+...+a[n])收敛,可知∑{1 ≤ n} 1/a[n]收敛.
再证充分性:当∑{1 ≤ n} 1/a[n]收敛.
对n = 2k-1,由数列{a[n]}为正项数列,有a[1]+a[2]+...+a[n] ≥ a[k]+a[k+1]+...+a[2k-1].
又{a[n]}单调递增,故a[k]+a[k+1]+...+a[2k-1] ≥ k·a[k].
于是n/(a[1]+a[2]+...+a[n]) ≤ (2k-1)/(k·a[k]) < 2/a[k].
对n = 2k,同理有a[1]+a[2]+...+a[n] ≥ a[k]+a[k+1]+...+a[2k] ≥ (k+1)a[k].
于是n/(a[1]+a[2]+...+a[n]) ≤ (2k)/((k+1)a[k]) < 2/a[k].
因此∑{1 ≤ n} n/(a[1]+a[2]+...+a[n])
= ∑{1 ≤ k} ((2k-1)/(a[1]+a[2]+...+a[2k-1])+(2k)/(a[1]+a[2]+...+a[2k]))
≤ ∑{1 ≤ k} (2/a[k]+2/a[k])
= 4·∑{1 ≤ k} 1/a[k].
由∑{1 ≤ n} 1/a[n]收敛,即得正项级数∑{1 ≤ n} n/(a[1]+a[2]+...+a[n])收敛.