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过C:y2=8x抛物线上一点P(2,4)作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线相交于A、B两点,则直线AB的斜率是()A.-12B.-1C.-23D.-2
题目详情
过C:y2=8x抛物线上一点P(2,4)作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线相交于A、B两点,则直线AB的斜率是( )
A. -1 2
B. -1
C. -2 3
D. -2
▼优质解答
答案和解析
证明:点P坐标为(2,4),设B(x1,y1),A(x2,y2),
由已知设PB:m(y-4)=x-2,即:x=my-4m+2,
代入抛物线的方程得:y2=8my-32m+16,即y2-8my+32m-16=0,
则y1+4=8m,故y1=8m-4,
设PA:-m(y-4)=x-2,即x=-my+4m+2,
代入抛物线的方程得:y2=-8my+32m+16,即y2+8my-32m-16=0,
则:y2+4=-8m,故y2=-8m-4,
x1-x2=my1-4m+2-(-my2+4m+2)=m(y1+y2)-8m=-16m,
直线AB的斜率kAB=
=
=-1,
所以直线BC的斜率为定值-1.
故选:B.
由已知设PB:m(y-4)=x-2,即:x=my-4m+2,
代入抛物线的方程得:y2=8my-32m+16,即y2-8my+32m-16=0,
则y1+4=8m,故y1=8m-4,
设PA:-m(y-4)=x-2,即x=-my+4m+2,
代入抛物线的方程得:y2=-8my+32m+16,即y2+8my-32m-16=0,
则:y2+4=-8m,故y2=-8m-4,
x1-x2=my1-4m+2-(-my2+4m+2)=m(y1+y2)-8m=-16m,
直线AB的斜率kAB=
y1-y2 |
x1-x2 |
16m |
-16m |
所以直线BC的斜率为定值-1.
故选:B.
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