如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P以一定的速度沿AC边由A向C运动，点Q以1cm/s速度沿CB边由C向B运动，设P、Q同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间

Question

如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P以一定的速度沿AC边由A向C运动，点Q以1cm/s速度沿CB边由C向B运动，设P、Q同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．

（1）若点P以(3)/(4)cm/s的速度运动，
①当PQ∥AB时，求t的值；
②在①的条件下，试判断以PQ为直径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由．
（2）若点P以1cm/s的速度运动，在整个运动过程中，以PQ为直径的圆能否与直线AB相切？若能，请求出运动时间t；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）①如图1，依题意，得AP=(3)/(4)t，CP=3-(3)/(4)t，CQ=t，BQ=4-t，
∵PQ∥AB，
∴CP：CA=CQ：CB，即（3-(3)/(4)t）：3=t：4，解得t=2，
②相交．
理由：作CE⊥AB，垂足为E，交PQ于D，当t=2时，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，则CE=(3×4)/(5)=2.4，
在Rt△PQC中，PC=1.5，CQ=2，由勾股定理得PQ=2.5，则CD=(1.5×2)/(2.5)=1.2，
∴DE=2.4-1.2=1.2，(1)/(2)PQ＞DE，
∴以PQ为直径的圆与直线AB相交；
（2）在整个运动过程中，以PQ为直径的圆能与直线AB相切．
如图2，设PQ的中点为O，分别过P、O、Q三点作AB的垂线，垂足为M、H、N，则OH∥PM∥QN，故OH是梯形PQNM的中位线，
依题意，得AP=t，CP=3-t，CQ=t，BQ=4-t，PQ=√((3−t)2+t2)，
由△APM∽△ABC，得PM=(4)/(5)t，
由△QBN∽△ABC，得QN=(3)/(5)（4-t），∴OH=(1)/(2)（PM+QN）=(t+12)/(10)，
当(1)/(2)PQ=OH时，(1)/(2)√((3−t)2+t2)=(t+12)/(10)，即49t²-174t+81=0，解得t=3或(27)/(49)．