如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2CD，点P从点A出发以每秒2个单位沿折线AD-DC-CB运动，同时点Q从点A出发以每秒1个单位向点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动

Question

如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2CD，点P从点A出发以每秒2个单位沿折线AD-DC-CB运动，同时点Q从点A出发以每秒1个单位向点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，连结PQ、PB，设△PBQ的面积为S，运动时间为t秒，S关于t的大致函数图象如图所示．

（1）求DC的长；
（2）求出图2中第二段的解析式；
（3）当t为何值时，△PBQ的面积5？

Answer 1

（1）∵AB=2CD，
∴AD+CD+BC>2AB，
∴点Q先到达终点，由图2，两个点停止时，用了6秒，
∵点Q的运动速度是每秒1个单位，
∴AB=6，
∴DC=3；

（2）如图1，2，

由图2，点P运动4秒时，刚好到达点C，
∴AD+CD=2×4=8，
由（1）知，CD=3，
∴AD=5，
过点D作DE⊥AB于E，
∴BC=DE，
在Rt△ADE中，AE=AB-CD=3，根据勾股定理得，DE=4，
∴BC=4，
∴点P运动5÷2=(5)/(2)秒时，点P到达点D的位置，AQ=(5)/(2)，BQ=AB-AQ=(7)/(2)，
∴S=(1)/(2)BQ•DE=(1)/(2)×(7)/(2)×4=17，
∴G（(5)/(2)，7），
点P运动到点C时，运动时间为4，BQ=AB-AQ=2，
∴S=(1)/(2)BQ×BC=(1)/(2)×2×4=4，
∴H（4，4）
图2中第二段函数是高为BC=4，底BQ逐渐减少，
∴第二段函数是一段线段，
此线段过点G（(5)/(2)，7），H（4，4），
∴图2中第二段的解析式为S=-2t+12（(5)/(2)≤t≤4）；

（3）由（2）知，点P在AD上和CD上时，△PBQ=5，
当点P在AD上时，如图3，

过点D作DE⊥AB于E，过点P作PM⊥AB于M，
在Rt△ADE中，sin∠DAE=(DE)/(AD)=(4)/(5)，
在Rt△APM中，PM=AP•sin∠DAE=2t×(4)/(5)=(8t)/(5)，
BQ=AB-AQ=6-t，
∴S=(1)/(2)BQ•PM=(1)/(2)（6-t）×(8t)/(5)=5，
∴t=(6-√(11))/(2)（舍）或t=(6-√(11))/(2)
当点P在CD上时，由（2）知，S=-2t+12，
∴-2t+12=5，
∴t=(7)/(2)；