设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0．(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求

Question

设函数f(x)＝ax－ ，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0．
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

Answer 1

（1）f(x)＝x－
（2）见解析

(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝ x－3，
当x＝2时，y＝ ．
又f′(x)＝a＋ ，
于是 ，解得
故f(x)＝x－ ．
(2)证明：设P(x ₀ ，y ₀ )为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋ 知，曲线在点P(x ₀ ，y ₀ )处的切线方程为y－y ₀ ＝(1＋ )·(x－x ₀ )，即y－(x ₀ － )＝(1＋ )(x－x ₀ )．
令x＝0得，y＝－ ，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－ )．
令y＝x，得y＝x＝2x ₀ ，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x _0, 2x ₀ )．
所以点P(x ₀ ，y ₀ )处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为 |－ ||2x ₀ |＝6．
曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．