F（x）＝g（x）×h（x）,h（x）在x＝a处连续但不可导,h'（a）存在,则g（a）＝0是F（x）在＝处可导的条件

Question

F（x）＝g（x）×h（x）,h（x）在x＝a处连续但不可导,h'（a）存在,则g（a）＝0是F（x）在＝处可导的___条件

Answer 1

1、设g(a)=0,
lim[x→a] [F(x)-F(a)]/(x-a)
=lim[x→a] [f(x)g(x)-f(a)g(a)]/(x-a)
=lim[x→a] f(x)g(x)/(x-a)
=lim[x→a]f(x)*lim[x→a] g(x)/(x-a)
=f(a)lim[x→a] [g(x)-g(a)]/(x-a)
=f(a)g'(a)
因此f(x)g(x)在x=a可导
2、设f(x)g(x)在x=a可导
则：lim[x→a] [f(x)g(x)-f(a)g(a)]/(x-a)存在
lim[x→a] [f(x)g(x)-f(a)g(a)]/(x-a)
=lim[x→a] [f(x)g(x)-f(x)g(a)+f(x)g(a)-f(a)g(a)]/(x-a)
=lim[x→a] f(x)[g(x)-g(a)]/(x-a)+lim[x→a] g(a)[f(x)-f(a)]/(x-a)
=f(a)g'(a)+g(a)lim[x→a] [f(x)-f(a)]/(x-a)
由于整个式子极限存在,其中lim[x→a] [f(x)-f(a)]/(x-a)不存在,因此只有g(a)=0时上式极限才存在.
因此g(a)=0

本题结论是充分必要条件.