若函数f（x）的定义域为R，且存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称f（x）为F函数．给出下列函数：①f（x）=x2，②f（x）=sinx+cosx，③f(x)＝xx2+x+1，④f（x）是定义在R上的奇函数，

Question

若函数f（x）的定义域为R，且存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称f（x）为F函数．给出下列函数：
①f（x）=x²，②f（x）=sinx+cosx，③f(x)＝(x)/(x2+x+1)，④f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2012|x₁-x₂|，⑤f(x)＝x(1)/(2)，其中是F函数的有______．

Answer 1

对于①，∵f（x）=x²，∴|f（x）|≤m|x|不成立，故①不是F-函数；
对于②，∵f（x）=sinx+cosx，∴x=0时，|f（x）|＜m|x|不成立，故②不是F函数；
对于③，∵f(x)＝(x)/(x2+x+1)，∴要使|f（x）|≤m|x|成立，
即|(x)/(x2+x+1)|≤m|x|，
当x=0时，m可取任意正数；当x≠0时，只须m≥|(x)/(x2+x+1)|的最大值．
因为x²+x+1=（x+(1)/(2)）2+(3)/(4)≥(3)/(4)，
所以m≥(4)/(3)时，f(x)＝(x)/(x2+x+1)是F函数，故③是F函数；
对于④，∵f（x）是定义在R上的奇函数，
且满足对一切实数x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|，
∴令x₁=x，x₂=0，由奇函数的性质知，f（0）=0，
故有|f（x）|＜2|x|．故④是F函数．
对于⑤，∵f(x)＝x(1)/(2)，∴|f（x）|≤m|x|不成立，故⑤不是F函数．
故答案为：③④．