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定义在实数集R上的函数f(x),如果存在函数g(x)=Ax+B(A,B为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立,那么称为g(x)为函数f(x)的一个承托函数,给出如下命题:(1)定义域

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定义在实数集R上的函数f(x),如果存在函数g(x)=Ax+B(A,B为常数),使得 f(x)≥g(x)对一切实数x都成立,那么称为 g(x)为函数 f(x)的一个承托函数,给出如下命题:
(1)定义域和值域都是R的函数f(x)不存在承托函数;
(2)g(x)=2x为函数f(x)=2x的一个承托函数;
(3)g(x)=ex为函数f(x)=ex的一个承托函数;
(4)函数f(x)=−
1
5x2−4x+11
,若函数g(x)的图象恰为f(x)在点P(1,−
1
12
)处的切线,则g(x)为函数f(x)的一个承托函数.其中正确的命题的个数是(  )

A.0
B.1
C.2
D.3
▼优质解答
答案和解析

①f(x)=2x+3的定义域和值域都是R,存在一个承托函数y=2x+1,故命题①不正确;
②举反例:当x∈(1,2)时,不满足f(x)≥g(x),比如x=
3
2
时,f(
3
2
)=
8
<g(
3
2
) =9,
说明g(x)=2x不是函数f(x)=2x的一个承托函数,故命题②不正确;
③令F(x)=f(x)-g(x)=ex-ex,F′(x)=ex-e=0,得x=1,
当x<1时,F′(x)<0,F(x)单调递减,
当x>1时,F′(x)>0,F(x)单调递增,
∴当x=1时,F(x)取最小值=e1-e=0,∴③正确;
④f(x)在点P(1,−
1
12
)处的切线方程为y=
1
24
x−
1
24
=g(x),
取x=10,可以算得f(10)<0<g(10),g(x)不是函数f(x)的一个承托函数.命题④不正确.
故选B.
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