在R上定义运算：p⊗q=-13(p-c)(q-b)+4bc（b、c∈R是常数），已知f1（x）=x2-2c，f2（x）=x-2b，f（x）=f1（x）f2（x）．①如果函数f（x）在x=1处有极值-43，试确定b、c

Question

在R上定义运算： p⊗q=-(1)/(3) (p-c)(q-b)+4bc （b、c∈R是常数），已知f ₁ （x）=x ² -2c，f ₂ （x）=x-2b，f（x）=f ₁ （x）f ₂ （x）．
①如果函数f（x）在x=1处有极值 -(4)/(3) ，试确定b、c的值；
②求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
③记g（x）=|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的取值范围．（参考公式：x ³ -3bx ² +4b ³ =（x+b）（x-2b） ² ）

Answer 1

①依题意 f(x)=-(1)/(3) x 3 +b x 2 +cx+bc ，
解

f(1)=-(4)/(3)

f / (1)=0

得

b=1

c=-1

或

b=-1

c=3

．
若

b=1

c=-1

， f(x)=-(1)/(3) x 3 + x 2 -x-1 ，
′（x）=-x ² +2x-1=-（x-1） ² ≤0f（x）在R上单调递减，
在x=1处无极值；若

b=-1

c=3

， f(x)=-(1)/(3) x 3 - x 2 +3x-3 ，
f′（x）=-x ² -2x+3=-（x-1）（x+3），直接讨论知，
f（x）在x=1处有极大值，所以

b=-1

c=3

为所求．
②解f′（t）=c得t=0或t=2b，切点分别为（0，bc）、 (2b，3bc+(4)/(3) b 3 ) ，
相应的切线为y=cx+bc或 y=cx+bc+(4)/(3) b 3 ．
解 cx+bc=-(1)/(3) x 3 +b x 2 +cx+bc
得x=0或x=3b；
解 cx+bc+(4)/(3) b 3 =-(1)/(3) x 3 +b x 2 +cx+bc
即x ³ -3bx ² +4b ³ =0
得x=-b或x=2b．
综合可知，b=0时，斜率为c的切线只有一条，与曲线的公共点只有（0，0），b≠0时，
斜率为c的切线有两条，与曲线的公共点分别为（0，bc）、（3b，4bc）和
(2b，(4)/(3) b   3 +3bc) 、 (-b，(4)/(3) b 3 ) ．
③g（x）=|-（x-b） ² +b ² +c|．若|b|＞1，则f′（x）在[-1，1]是单调函数，
M=max{|f′（-1）|，|f′（1）|}={|-1+2b+c|，|-1-2b+c|}，
因为f′（1）与f′（-1）之差的绝对值|f′（1）-f′（-1）|=|4b|＞4，所以M＞2．
若|b|≤1，f′（x）在x=b∈[-1，1]取极值，
则M=max{|f′（-1）|，|f′（1）|，|f′（b）|}，f′（b）-f′（±1）=（b∓1） ² ．
若-1≤b＜0，f′（1）≤f′（-1）≤f′（b
M=max{| f / (1)|，| f / (b)|}≥(1)/(2) | f / (1)- f / (b)|=(1)/(2) (b-1 ) 2 ＞(1)/(2) ；
若0≤b≤1，f′（-1）≤f′（1）≤f′（b），
M=max{|f′（-1）|，|f′（b）|} ≥(1)/(2) | f / (-1)- f / (b)| = (1)/(2) (b+1 ) 2 ≥(1)/(2) ．
当b=0， c=(1)/(2) 时， g(x)=| f / (x)|=|- x 2 +(1)/(2) | 在[-1，1]上的最大值 M=(1)/(2) ．
所以，k的取值范围是 (-∞，(1)/(2) ] ．