（2010•江门一模）已知f(x)＝ax−1x，g（x）=lnx，（x＞0，a∈R是常数）．（1）求曲线y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线l．（2）是否存在常数a，使l也是曲线y=f（x）的一条切线．若存在，求a

Question

（2010•江门一模）已知f(x)＝ax−(1)/(x)，g（x）=lnx，（x＞0，a∈R是常数）．
（1）求曲线y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线l．
（2）是否存在常数a，使l也是曲线y=f（x）的一条切线．若存在，求a的值；若不存在，简要说明理由．
（3）设F（x）=f（x）-g（x），讨论函数F（x）的单调性．

Answer 1

（1）g（1）=0，所以P的坐标为（1，0），
g′(x)＝(1)/(x)，则切线的斜率k=g′（1）=1，
所以直线l的方程为y-0=1（x-1），化简得y=x-1；
（2）由f(x)＝ax−(1)/(x)，得f′（x）=a+(1)/(x2)，
设y=f（x）在x=x₀处的切线为l，
则有

ax0−(1)/(x0)＝x0−1

a+(1)/(x02)＝1

，解得

x0＝2

a＝(3)/(4)

，
即当a＝(3)/(4)时，l是曲线y=f（x）在点Q（2，1）的切线；
（3）F′(x)＝a+(1)/(x2)−(1)/(x)＝a+((1)/(x)−(1)/(2))2−(1)/(4)．
当a≥(1)/(4)，a−(1)/(4)≥0时，F′（x）≥0，F（x）在（0，+∞）单调递增；
当a=0时，