（2011•沙洋县模拟）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

Question

（2011•沙洋县模拟）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过B作BD⊥x轴于D
∵A（-2，0），
∴OA=OB=2
Rt△OBD中，∠BOD=60°，OB=2，
∴∠OBD=30°，
∴OD=1，BD=√(3)
故B（1，√(3)）；（2分）

（2）设抛物线的解析式为y=a（x-0）（x+2），
代入点B（1，√(3)），
得a=(√(3))/(3)，（3分）
因此y=(√(3))/(3)x²+(2√(3))/(3)x；（5分）

（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=-1，
∵A、O两点关于直线x=-1对称，
∴当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小，即△BOC的周长线段AB的长；
设直线AB为y=kx+b，
所以

k+b＝√(3)

−2k+b＝0

，
解得

k＝(√(3))/(3)

b＝(2√(3))/(3)

，
因此直线AB为y=(√(3))/(3)x+(2√(3))/(3)，（7分）
当x=-1时，y=(√(3))/(3)，
因此点C的坐标为（-1，(√(3))/(3)）．（8分）