如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AE=1，ED=3，求⊙O的半径．

Question

如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．

（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE=1，ED=3，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连结DO．

∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中
∵OD=OB，OC=OC，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO=∠CBO．
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO=90°，
∴∠CDO=90°，
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R，OE=R+1，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠EDO=90°，
∴ED²+OD²=OE²，
∴3²+R²=（R+1）²，
解得R=2，
∴⊙O的半径为2．