如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．（1）求证：CD与⊙O相切．（2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径．

Question

如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．

（1）求证：CD与⊙O相切．
（2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径．

Answer 1

证明：（1）连OM，过O作ON⊥CD于N；
∵⊙O与BC相切，
∴OM⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，
∴OM=ON，
∴CD与⊙O相切．
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD=1，∠B=90°，∠ACD=45°，
∴AC=√(2)，∠MOC=∠MCO=45°，
∴MC=OM=OA，
∴OC=√(OM2+MC2)＝√(2)ON＝√(2)OA；
又∵AC=OA+OC，
∴OA+√(2)OA=√(2)，
∴OA=2-√(2)．