已知动圆C与圆C1：（x-2）2+y2=1外切．又与直线l：x=-1相切（1）求动圆C的圆心的轨迹方程E；（2）若动点M为直线l上任一点，过点P（1，0）的直线与曲线E相交干A，B两点．求证：kMA+kMB=2kMP．

Question

已知动圆C与圆C₁：（x-2）²+y²=1外切．又与直线l：x=-1相切
（1）求动圆C的圆心的轨迹方程E；
（2）若动点M为直线l上任一点，过点P（1，0）的直线与曲线E相交干A，B两点．求证：k_MA+k_MB=2k_MP．

Answer 1

（1）令C点坐标为（x，y），C₁（2，0），动圆得半径为r，
则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，CC₁=1+r，d=r，
C在直线的右侧，故C到定直线的距离是x+1，
所以CC₁-d=1，即√((x-2)2+y2)-（x+1）=1，
化简得：y²=8x．
（2）证明：由题意，设直线AB的方程为x=my+1，
代入抛物线方程，消去x可得y²-8my-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（-1，t），
则y₁+y₂=8m，y₁y₂=-8，x₁+x₂=8m²+2，x₁x₂=1，
∴k_MA+k_MB=(y1-t)/(x1+t)+(y2-t)/(x2+1)=((1)/(8)y1y2(y1+y2)+y1+y2-t(x1+x2)-2t)/(x1x2+x1+x2+1)=-t，
2k_MP=2•(t)/(-1-1)=-t，
∴k_MA+k_MB=2k_MP．