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设函数f(x),g(x)在[a,b]上内二阶可导且存在相等的最大值,又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:(Ⅰ)存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η);(Ⅱ)存在ξ∈(a,b),使得f″(ξ
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设函数f(x),g(x)在[a,b]上内二阶可导且存在相等的最大值,又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:
(Ⅰ)存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η);
(Ⅱ)存在ξ∈(a,b),使得f″(ξ)=g″(ξ).
(Ⅰ)存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η);
(Ⅱ)存在ξ∈(a,b),使得f″(ξ)=g″(ξ).
▼优质解答
答案和解析
证明:(I)由f(x),g(x)在(a,b)内存在相等的最大值,
①若在某点c∈(a,b)同时取得最大值,则f(c)=g(c),此时的c就是所求点,即存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η);
②若两个函数取得最大值的点不同,设f(c)=maxf(x),g(d)=maxg(x),f(c)=g(d).
则有f(c)-g(c)>0,g(d)-f(d)<0,
因此函数F(x)=f(x)-g(x)在[c,d]或[d,c]上满足零点定理的条件,
故在(c,d)或(d,c)内肯定存在η,使得f(η)=g(η)
综合①②,存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η)
(II)由(1)和洛尔定理在区间(a,η),(η,b)内分别存在一点{ξ}_{1}和{ξ}_{2},使得
f(ξ1)=0,f′(ξ2)=0
在区间(ξ1,ξ2)内对函数F(x)=f(x)-g(x)用洛尔定理,即
∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b),F''(ξ)=f''(ξ)-g''(ξ)=0
即∃ξ∈(a,b),使得f″(ξ)=g″(ξ).
①若在某点c∈(a,b)同时取得最大值,则f(c)=g(c),此时的c就是所求点,即存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η);
②若两个函数取得最大值的点不同,设f(c)=maxf(x),g(d)=maxg(x),f(c)=g(d).
则有f(c)-g(c)>0,g(d)-f(d)<0,
因此函数F(x)=f(x)-g(x)在[c,d]或[d,c]上满足零点定理的条件,
故在(c,d)或(d,c)内肯定存在η,使得f(η)=g(η)
综合①②,存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η)
(II)由(1)和洛尔定理在区间(a,η),(η,b)内分别存在一点{ξ}_{1}和{ξ}_{2},使得
f(ξ1)=0,f′(ξ2)=0
在区间(ξ1,ξ2)内对函数F(x)=f(x)-g(x)用洛尔定理,即
∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b),F''(ξ)=f''(ξ)-g''(ξ)=0
即∃ξ∈(a,b),使得f″(ξ)=g″(ξ).
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