设数列{an}的通项公式为an=pn+q（n∈N*，p＞0）．数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若p=12，q=-13，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=-1，求数列{bn}的前2m项

Question

设数列{a_n}的通项公式为a_n=pn+q（n∈N^*，p＞0）．数列{b_n}定义如下：对于正整数m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若p=(1)/(2)，q=-(1)/(3)，求b₃；
（Ⅱ）若p=2，q=-1，求数列{b_n}的前2m项和公式．

Answer 1

（Ⅰ）∵p=(1)/(2)，q=-(1)/(3)，
∴a_n=(1)/(2)n-(1)/(3)，
当m=3时，由a_n=(1)/(2)n-(1)/(3)≥3，得n≥(20)/(3)，
则(1)/(2)n-(1)/(3)≥3成立的所有n中的最小正整数为7，即b₃=7．
（Ⅱ）由题意，得a_n=2n-1，
对于正整数m，由a_n≥m，得n≥(m+1)/(2)．
根据b_m的定义可知
当m=2k-1时，b_m=k（k∈N^*）；
当m=2k时，b_m=k+1（k∈N^*）．
∴b₁+b₂+…+b_2m=（b₁+b₃+…+b_2m-1）+（b₂+b₄+…+b_2m）
=（1+2+3+…+m）+[2+3+4+…+（m+1）]=(m(m+1))/(2)+(m(m+3))/(2)=m²+2m．