lim(1-3/x)^x+1 =e^3 （公式） x->无穷大 此题括号内1-无穷小,的无穷大次方应该不会大于1,怎么会等于e^3

Question

lim(1-3/x)^x+1 =e^3 （公式） x->无穷大 此题括号内1-无穷小,的无穷大次方应该不会大于1,怎么会等于e^3

Answer 1

1. 当x->无穷大的时候,底数趋向1,指数趋向于正无穷,而且收敛速度不同,所以不能分开求极限
2. 所以原式应该化简后求极限：
lim(1-3/x)^(x+1)=lim(1-3/x)^(-x/3*3*(-1)+1)=lim[(1-3/x)*(1-3/x)^(-x/3*3*(-1)]=1*e^(-3*-1)=e^3
倒数第二步成立的原因是,两个收敛函数的积仍为收敛函数
其中还用到了lim(1+a/x)^(x/a)=e^a,当x->无穷大,a不等于0