如图,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,试说明E,F关于AD对称

Question

如图,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,试说明E,F关于AD对称

Answer 1

①证：∵AD是∠BAC的平分线
∴∠EAD=∠FAD
      ∵DE⊥AB,DF⊥AC
      ∴∠BFD=∠CFD=90°
      ∴∠AED与∠AFD=90°
      在△AED与△AFD中
        ∠EAD=∠FAD
        AD=AD
        ∠AED=∠AFD
∴△AED≌△AFD（AAS）
      ∴AE=AF
      在△AEO与△AFO中
        ∠EAO=∠FAO
        AO=AO
        AE=AF
      ∴△AEO≌△AFO（SAS）
      ∴∠AOE=∠AOF=90°
      ∴AD⊥EF
所以E,F关于AD对称
 
 
 
 

②证：∵AD是∠BAC的平分线
      ∴∠BAD=∠CAD
    又∵DE⊥AB,DF⊥AC
      ∴∠AED=∠AFD=90°
      在△AED与△AFD中
        ∠BAD=∠CAD
        ∠AED=∠AFD
        AD=AD
      ∴△AED≌△AFD（AAS）
∴∠EDO=∠FDO,ED=FD
      在△EDO=△FOD中
        DO=OD
        ∠EDO=∠FDO
        ED=FD
      ∴△EDO≌△FOD（SAS）
      ∴∠1=∠2
      ∵∠1+∠2=180°
      ∴∠1=∠2=90°
      ∴∠3=∠4=90°
      即AD⊥EF
所以E,F关于AD对称