（2014•十堰）如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足

Question

（2014•十堰）如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；
（3）如图2，连接OD交AC于点G，若(CG)/(GA)=(3)/(4)，求sin∠E的值．

Answer 1

（1）证明：连结OC，如图1，
∵DE与⊙O切于点C，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴OC∥AD，
∴∠2=∠3，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
即AC平分∠DAB；

（2）如图1，
∵直径AB=4，B为OE的中点，
∴OB=BE=2，OC=2，
在Rt△OCE中，OE=2OC，
∴∠OEC=30°，
∴∠COE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠OFC=90°，
∴∠OCF=30°，
∴OF=(1)/(2)OC=1，
CF=√(3)OF=√(3)；

（3）连结OC，如图2，
∵OC∥AD，
∴△OCG∽△DAG，
∴(OC)/(DA)=(CG)/(AG)=(3)/(4)，
∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴(EO)/(EA)=(OC)/(AD)=(3)/(4)，
设⊙O的半径为R，OE=x，
∴(x)/(x+R)=(3)/(4)，
解得OE=3R，
在Rt△OCE中，sin∠E=(OC)/(OE)=(R)/(3R)=(1)/(3)．