已知A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上异于原点O的两点，则“OA•OB＝0”是“直线AB恒过定点（2p，0）”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件

Question

已知A、B是抛物线y²=2px（p＞0）上异于原点O的两点，则“

OA

•

OB

＝0”是“直线AB恒过定点（2p，0）”的（　　）

A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件

Answer 1

设点A，B的坐标分别为A（(1)/(2p)y₁²，y₁），B（(1)/(2p)y₂²，y₂）
充分性：若“

OA

•

OB

＝0”成立，则
(1)/(2p)y₁²•(1)/(2p)y₂²+y₁y₂=0，结合y₁y₂不等于0得(1)/(4p2)y₁y₂+1=0
∴y₁y₂=-4p²，
设C（2p，0），可得向量

AC

=（2p-(1)/(2p)y₁²，-y₁），

BC

=（2p-(1)/(2p)y₂²，-y₂），
∵（2p-(1)/(2p)y₁²）（-y₂）-（-y₁）（2p-(1)/(2p)y₂²）
=2p（y₁-y₂）+(1)/(2p)y₁²y₂-2p-(1)/(2p)y₂²y₁=(1)/(2p)（y₁-y₂）（4p²+y₁y₂）=(1)/(2p)（y₁-y₂）（4p²-4p²）=0
∴

AC

与

BC

共线，可得直线AB一定经过点C（2p，0），
结论“直线AB恒过定点（2p，0）”成立，可得充分性成立
必要性：若“直线AB恒过定点（2p，0）”成立，
设C（2p，0），则向量

AC

=（2p-(1)/(2p)y₁²，-y₁），

BC

=（2p-(1)/(2p)y₂²，-y₂），
∵

AC

与

BC

共线，
∴（2p-(1)/(2p)y₁²）（-y₂）-（-y₁）（2p-(1)/(2p)y₂²）=0
化简得(1)/(2p)（y₁-y₂）（4p²+y₁y₂）=0，
由于y₁-y₂不可能为0，所以4p²+y₁y₂=0，可得y₁y₂=-4p²，
因此，

OA

•

OB

=(1)/(2p)y₁²•(1)/(2p)y₂²+y₁y₂=y₁y₂（(1)/(4p2)y₁y₂+1）=0，
即结合“

OA

•

OB

＝0”成立，故必要性成立
故选：C