设f(x)＝x3+log2(x+x2+1)，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件

Question

设f(x)＝x3+log2(x+√(x2+1))，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（　　）
A. 充分必要条件
B. 充分而非必要条件
C. 必要而非充分条件
D. 既非充分也非必要条件

Answer 1

f（x）=x³+log2（x+√(x2+1)），f（x）的定义域为R
∵f（-x）=-x³+log₂（-x+√(x2+1)）=-x³+log₂(1)/(x+√(x2+1))
=-x³-log₂（x+√(x2+1)）=-f（x）．
∴f（x）是奇函数
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数
∴f（x）在R上是增函数
a+b≥0可得a≥-b
∴f（a）≥f（-b）=-f（b）
∴f（a）+f（b）≥0成立
若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥-f（b）=f（-b）由函数是增函数知
a≥-b
∴a+b≥0成立
∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．