1、X+X^2+X^3+X^4+……X^N（求简化公式）2、{4X+3X^2+2X^3+X^4}(其中N＝4,如果将N放入公式中求简化公式）

Question

1、X+X^2+X^3+X^4+……X^N（求简化公式）
2、{4X+3X^2+2X^3+X^4}(其中N＝4,如果将N放入公式中求简化公式）

Answer 1

第一个是等比数列,公比是X,代入公式即可,Sn=X(1-X^n)/(1-X)
第二个是等差数列与等比数列的积{(N+1-k)X^k},使用错位相减法,
SN=NX+(N-1)X^2+(N-2)X^3+...+2X^(N-1)+X^N (1)
XSN=NX^2+(N-1)X^3+(N-1)X^4+...+2X^N+X^(N+1) (2)
(2)-(1),得
(X-1)SN=-NX+X^2+X^3+...+X^N+X^(N+1)=-NX+X^2(1-X^N)/(1-X)
SN=-NX/(1-X)+X^2(1-X^N)/(1-X)^2