（文科做（1）（2）（4），理科全做）已知过抛物线C1：y2=2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（1）证明：y1y2=-p2且（y1+y2）2=2p（x1+x2-p）；（2）点Q为线段AB的中点

Question

（文科做（1）（2）（4），理科全做）
已知过抛物线C₁：y²=2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点 
（1）证明：y₁y₂=-p²且（y₁+y₂）²=2p（x₁+x₂-p）；
（2）点Q为线段AB的中点，求点Q的轨迹方程；
（3）若x₁=1，x₂=4，以坐标轴为对称轴的椭圆或双曲线C₂过A、B两点，求曲线C₁和C₂的方程；
（4）在（3）的条件下，若曲线C₂的两焦点分别为F₁、F₂，线段AB上有两点C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）（x₃＜x₄），满足：①S△F1F2A−S△F1F2C＝S△F1F2D−S△F1F2B，②AB=3CD．在线段F₁ F₂上是否存在一点P，使PD=√(11)，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）设AB：x=my+(p)/(2)，代入y²=2px得：
y²-2pmy-p²=0，
∴y₁y₂=-p²，
∵2p（x₁+x₂-p）=2px₁+2px₂-2p²=y₁²+y₂²-2p²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂-2p²
=（y₁+y₂）²+2p²-2p²=（y₁+y₂）²
∴（y₁+y₂）²=2p（x₁+x₂-p）．
（2）设线段AB的中点坐标为M（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y
∴4y²=2p（2x-p）
即中点的轨迹方程为y²=px-(1)/(2)p2．
（3）由（1）可得，x₁x₂=(p2)/(4)=4，∴p=4 曲线  C1：y2＝8x
∴A（1，-2√(2)），B（4，4√(2)）或A（1，2√(2)），B（4，-4√(2)）
设所求曲线方程为mx²+ny²=1，则

m+8n＝1

16m+32n＝1

解得　　

作业帮用户 2017-10-05 举报

问题解析

（1）设AB：x=my+

(p)/(2)，代入y²=2px，利用根与系数的关系即可得出；
（2）设线段AB的中点坐标为M（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．再利用（1）的结论即可得出．
（3）利用（1）的距离即可得到p，即抛物线的方程，进而得到点A，B的坐标．设所求曲线方程为mx²+ny²=1，把点A，B的坐标代入即可得出．
（4）当y₁=-2√(2)时，由①②可得

x3+x4＝x1+x2

3(x4−x3)＝x2−x1

即可解得x₄，可得点D的坐标，设P（0，t）由c²=(52)/(5)（c为曲线C₂的半焦距），可知，−√((52)/(5))≤t≤√((52)/(5))，由|PD|=√(11)求得t．当y₁=-2√(2)时，同理可得．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质；抛物线的标准方程．

考点点评：

熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、中点的坐标公式、三角形的面积计算公式、分类讨论的思想方法等是解题的关键．

扫描下载二维码

©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议