如图1，抛物线y=-x2+2bx+c（b>0）与y轴交于点C，点P为抛物线顶点，分别作点P，C关于原点O的对称点P′，C′，顺次连接四点得四边形PCP′C′．（1）当b=c=1时，求顶点P的坐标；（2）当b=2，四

Question

如图1，抛物线y=-x²+2bx+c（b>0）与y轴交于点C，点P为抛物线顶点，分别作点P，C关于原点O的对称点P′，C′，顺次连接四点得四边形PCP′C′．

（1）当b=c=1时，求顶点P的坐标；
（2）当b=2，四边形PCP′C′为矩形时（如图2），求c的值；
（3）请你探究：四边形PCP′C′能否成为正方形？若能，求出符合条件的b，c的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）当b=c=1时，y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，
∴顶点P的坐标为（1，2）；
（2）当b=2时，y=-x²+2bx+c=-x²+4x+c=-（x-2）²+4+c，
∴顶点P的坐标为（2，4+c），
当x=0时，y=c，∴点C的坐标为（0，c），
当四边形PC P′C′为矩形时OP=OC，
即2²+（4+c）²=c²，
解得：c=-(5)/(2)；
（3）当四边形PCP′C′能成为正方形时，PP′⊥CC′且OP=OC
此时点P必在x轴上，∴(4×(−1)×c−(2b)2)/(4×(−1))=c+b²=0 ①，
∵OP=OC，点C必在y轴的负半轴上，∴b=-c②，
由①②得，c=0（舍去），c=-1，b=1．