已知实数a不等于0,函数f（x）=ax（x-2）^2,x属于R.（1）若函数f（x）有极大值32/27,求实数a的值（2）若对任意的x属于（-2,1）,不等式f（x）

Question

已知实数a不等于0,函数f（x）=ax（x-2）^2,x属于R.（1）若函数f（x）有极大值32/27,求实数a的值（2）若对任意的x属于（-2,1）,不等式f（x）

Answer 1

f(x)=ax(x-2)^2=ax^3-4ax^2+4ax f'(x)=3ax^2-8ax+4a=3a(x-2/3)(x-2) 讨论:(1)a>0, ∵x∈(-∞,2/3）,f'(x)>0,x∈(2/3,2）,f'(x)<0,x∈(2,+∞）,f'(x)>0, ∴f(x)在x=2/3处取得极大值32/27,即f(2/3)=32/27,解得a=-4/3, (2)a<0 ∵x∈(-∞,2/3）,f'(x)<0,x∈(2/3,2）,f'(x)>0,x∈(2,+∞）,f'(x)<0 ∴f(x)在x=2处取得极大值32,即f(2)=32,无解.综上:a=-4/3