f(x)=x^2+bx+c的对称轴为3/2且经过点（0,3）,函数h(x)=e^x,定义函数F(X)=f(x)*h(x)其定义域为（-2,t）(这里是闭区间),求证：对于任意的t>-2,总存在x属于（-2,t）满足F'（x）/e^x=2(t-1)^2/3,并确定这样的x的

Question

f(x)=x^2+bx+c的对称轴为3/2且经过点（0,3）,函数h(x)=e^x,定义函数F(X)=f(x)*h(x)
其定义域为（-2,t）(这里是闭区间),求证：对于任意的t>-2,总存在x属于（-2,t）满足
F'（x）/e^x=2(t-1)^2/3,并确定这样的x的个数

Answer 1

f(x)=x^2+bx+c,称轴为3/2,x=-b/2=3/2,b=-3,经过点（0,3）,c=3,则f(x)=x²-3x+3；
F(X)=f(x)*h(x),F(X)=e^x(x²-3x+3)；F‘(X)=e^x(x²-x),F‘(X)/e^x=x²-x=2(t-1)^2/3,∵2(t-1)^2/3≥0,∴x²-x≥0,x≥1,或x≤0,依题意x的个数：-2≤x≤0,或1≤x≤t.