（2008•湖北）已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1＝23an+n−4，bn＝(−1)n(an−3n+21)，其中λ为实数，n为正整数．（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等

Question

（2008•湖北）已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，an+1＝(2)/(3)an+n−4，bn＝(−1)n(an−3n+21)，其中λ为实数，n为正整数．
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0＜a＜b，S_n为数列{b_n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{a_n}是等比数列，则有a²₂=a₁a₃，即((2)/(3)λ−3)2＝λ((4)/(9)λ−4)⇔(4)/(9)λ2−4λ+9＝(4)/(9)λ2−4λ⇔9＝0，矛盾．
所以{a_n}不是等比数列．
（Ⅱ）因为b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（(2)/(3)a_n-2n+14）
=(2)/(3)（-1）ⁿ•（a_n-3n+21）=-(2)/(3)b_n
又b₁=-（λ+18），所以
当λ=-18，b_n=0（n∈N⁺），此时{b_n}不是等比数列：
当λ≠-18时，b₁=（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，
∴(bn+1)/(bn)＝−(2)/(3)（n∈N⁺）．
故当λ≠-18时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-(2)/(3)为公比的等比数列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=-18，b_n=0，S_n=0，不满足题目要求．
∴λ≠-18，故知b_n=-（λ+18）•（-(2)/(3)）^n-1，于是可得
S_n=-

n

i＝1

i4＝(1)/(5)n4+(1)/(2)n4+(1)/(3)n3−(1)/(30)n，
要使a＜S_n＜b对任意正整数n成立，
即a＜-(3)/(5)（λ+18）•[1-（-(2)/(3)）ⁿ]＜b（n∈N⁺）
得(a)/(1−(−(2)/(3))n)＜−(3)/(5)(λ+18)＜(b)/(1−(−(2)/(3))n)
令f(n)＝1−(−(2)/(3))n，则①
当n为正奇数时，1＜f（n）≤(5)/(3)；当n为正偶数时，

作业帮用户 2017-09-21 举报

问题解析

（1）这种证明数列不是等比数列的问题实际上不好表述，我们可以选择反证法来证明，假设存在推出矛盾．
（2）用数列a_n构造一个新数列，我们写出新数列的第n+1项和第n项之间的关系，发现λ的取值影响数列的性质，所以要对λ进行讨论．
（3）根据前面的运算写出数列的前n项和，把不等式写出来观察不等式的特点，构造新函数，根据函数的最值进行验证，注意n的奇偶情况要分类讨论．

名师点评

本题考点：

等比关系的确定．

考点点评：

这道题目的难度要高于高考题的难度，若函数题是一套卷的压轴题，可以出到这个难度，否则本题偏难，本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力．

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