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对于数列A:a1,a2,…,an,若满足ai∈{0,1}(i=1,2,3,…,n),则称数列A为“0-1数列”.若存在一个正整数k(2≤k≤n-1),若数列{an}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按
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对于数列A:a1,a2,…,an,若满足ai∈{0,1}(i=1,2,3,…,n),则称数列A为“0-1数列”.若存在一个正整数k(2≤k≤n-1),若数列{an}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等,则称数列{an}是“k阶可重复数列”,例如数列A:0,1,1,0,1,1,0.因为a1,a2,a3,a4与a4,a5,a6,a7按次序对应相等,所以数列{an}是“4阶可重复数列”.
(Ⅰ)分别判断下列数列A:1,1,0,1,0,1,0,1,1,1.是否是“5阶可重复数列”?如果是,请写出重复的这5项;
(Ⅱ)若项数为m的数列A一定是“3阶可重复数列”,则m的最小值是多少?说明理由;
(III)假设数列A不是“5阶可重复数列”,若在其最后一项am后再添加一项0或1,均可使新数列是“5阶可重复数列”,且a4=1,求数列{an}的最后一项am的值.
(Ⅰ)分别判断下列数列A:1,1,0,1,0,1,0,1,1,1.是否是“5阶可重复数列”?如果是,请写出重复的这5项;
(Ⅱ)若项数为m的数列A一定是“3阶可重复数列”,则m的最小值是多少?说明理由;
(III)假设数列A不是“5阶可重复数列”,若在其最后一项am后再添加一项0或1,均可使新数列是“5阶可重复数列”,且a4=1,求数列{an}的最后一项am的值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)是“5阶可重复数列”,10101. ….(3分)
(Ⅱ)因为数列{an}的每一项只可以是0或1,所以连续3项共有23=8种不同的情形.
若m=11,则数列{an}中有9组连续3项,则这其中至少有两组按次序对应相等,即项数为11的数列{an}一定是“3阶可重复数列”;若m=10,数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”;则3≤m<10时,均存在不是“3阶可重复数列”的数列{an}.所以,要使数列{an}一定是“3阶可重复数列”,则m的最小值是11.….(8分)
(III)由于数列{an}在其最后一项am后再添加一项0或1,均可使新数列是“5阶可重复数列”,即在数列{an}的末项am后再添加一项0或1,则存在i≠j,
使得ai,ai+1,ai+2,ai+3,ai+4与am-3,am-2,am-1,am,0按次序对应相等,或aj,aj+1,aj+2,aj+3,aj+4与am-3,am-2,am-1,am,1按次序对应相等,
如果a1,a2,a3,a4与am-3,am-2,am-1,am不能按次序对应相等,那么必有2≤i,j≤m-4,i≠j,使得ai,ai+1,ai+2,ai+3、aj,aj+1,aj+2,aj+3与am-3,am-2,am-1,am按次序对应相等.
此时考虑ai-1,aj-1和am-4,其中必有两个相同,这就导致数列{an}中有两个连续的五项恰按次序对应相等,从而数列{an}是“5阶可重复数列”,这和题设中数列{an}不是“5阶可重复数列”矛盾!所以a1,a2,a3,a4与am-3,am-2,am-1,am按次序对应相等,从而am=a4=1.….(14分)
(Ⅱ)因为数列{an}的每一项只可以是0或1,所以连续3项共有23=8种不同的情形.
若m=11,则数列{an}中有9组连续3项,则这其中至少有两组按次序对应相等,即项数为11的数列{an}一定是“3阶可重复数列”;若m=10,数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”;则3≤m<10时,均存在不是“3阶可重复数列”的数列{an}.所以,要使数列{an}一定是“3阶可重复数列”,则m的最小值是11.….(8分)
(III)由于数列{an}在其最后一项am后再添加一项0或1,均可使新数列是“5阶可重复数列”,即在数列{an}的末项am后再添加一项0或1,则存在i≠j,
使得ai,ai+1,ai+2,ai+3,ai+4与am-3,am-2,am-1,am,0按次序对应相等,或aj,aj+1,aj+2,aj+3,aj+4与am-3,am-2,am-1,am,1按次序对应相等,
如果a1,a2,a3,a4与am-3,am-2,am-1,am不能按次序对应相等,那么必有2≤i,j≤m-4,i≠j,使得ai,ai+1,ai+2,ai+3、aj,aj+1,aj+2,aj+3与am-3,am-2,am-1,am按次序对应相等.
此时考虑ai-1,aj-1和am-4,其中必有两个相同,这就导致数列{an}中有两个连续的五项恰按次序对应相等,从而数列{an}是“5阶可重复数列”,这和题设中数列{an}不是“5阶可重复数列”矛盾!所以a1,a2,a3,a4与am-3,am-2,am-1,am按次序对应相等,从而am=a4=1.….(14分)
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