设f(x)＝lnx−x−ax(其中a＞0)，g(x)＝2(x−1)−(x2+1)lnx．（1）当x∈[1，+∞）时，判断函数g（x）的单调性；（2）已知f（x）和g（x）在[1，+∞）上单调性一致，求a的取值范围；（3）设b＞1，证明

Question

设f(x)＝lnx−(x−a)/(√(x))(其中a＞0)，g(x)＝2(x−1)−(x2+1)lnx．
（1）当x∈[1，+∞）时，判断函数g（x）的单调性；
（2）已知f（x）和g（x）在[1，+∞）上单调性一致，求a的取值范围；
（3）设b＞1，证明不等式(2)/(1+b2)＜(lnb)/(b−1)＜(1)/(√(b))．

Answer 1

（1）∵g（x）=2（x-1）-（x²+1）lnx，
∴g′(x)＝2−2xlnx−(x2+1)/(x)
=-2xlnx-((x−1)2)/(x)
=-[2xlnx+((x−1)2)/(x)]，
当x≥1时，2xlnx≥0，((x−1)2)/(x)＞0，
∴g′（x）＜0，
所以g（x）在[1，+∞）上为减函数．
（2）∵g（x）在[1，+∞）上为减函数．
f（x）和g（x）在[1，+∞）上单调性一致，
∴f（x）=lnx-(x−a)/(√(x))在[1，+∞）上为减函数，
∴f′(x)＝(1)/(x)−(√(x)−(x−a)•(1)/(2√(x)))/(x)=(1)/(x)−((1)/(2)√(x)+(a)/(2√(x)))/(x)=

作业帮用户 2017-09-21

问题解析

（1）由已知中g（x）的解析式，我们易判断g（x）在[1，+∞）上的单调性．
（2）由f（x）和g（x）在[1，+∞）上单调性一致，我们易判断f'（x）在[1，+∞）上的符号，进而得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到的取值范围．
（3）由（2）的结论，结合b＞1，我们易得g（b）＜g（1），f（b）＜f（1），构造关于b的不等式组，解不等式组，即可得到答案．

名师点评

本题考点：

利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：

本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，基本不等式及不等式的证明，其中利用已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，将问题转化为一个不等式问题是解答的关键．

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