设x＞1，y＞1，S=min{logx2，log2y，logy（8x2）}则S的最大值为．

Question

设x＞1，y＞1，S=min{log_x2，log₂y，log_y（8x²）}则S的最大值为______．

Answer 1

由题设得log_x2≥S，log₂y≥S，log_y（8x²）≥S，
则S≤log_y（8x²）=(3+2log2x)/(log2y)＝(3+(2)/(logx2))/(log2y)≤(3+(2)/(S))/(S)，
于是S³-3S-2≤0，即（S-2）（S+1）²≤0，
得S≤2．
当x＝√(2)，y=4时取等号．
则S的最大值为2．
故答案为：2．