圆内有n个三角形求三角形边长与n的关系

Question

圆内有n个三角形 求三角形边长与n的关系

Answer 1

第N个三角形边长为2N/3
数学归纳法.
设第N个正三角形的边长为An,An=2n/3
1.当n=1时,第一个正三角形的顶点座标为(A1/2,√3*(A1/2))
又因为顶点在y=√x上
所以√3*(A1/2)=√(A1/2)
解之得A1=2/3.满足假设
2.不妨假设当n=k-1时,A(k-1)=2(k-1)/3
则A1+A2+A3+.+A(k-1)=(k^2-k)/3 [由等差数列求和公式易得]
所以第k个正三角形的顶点座标为 ((k^2-k)/3 + Ak/2,√3*(Ak/2))
又因为该顶点在y=√x上
所以 √((k^2-k)/3 + Ak/2)=√3*(Ak/2)
解得Ak=2k/3 [由十字相乘法易得],满足题设
综上所诉,An=2n/3
所以第N个正三角形的边长为2N/3