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(2014•百色)如图,在正方形ABCD中,点E、F分别是BC、CD的中点,DE交AF于点M,点N为DE的中点.(1)若AB=4,求△DNF的周长及sin∠DAF的值;(2)求证:2AD•NF=DE•DM.

题目详情
(2014•百色)如图,在正方形ABCD中,点E、F分别是BC、CD的中点,DE交AF于点M,点N为DE的中点.
(1)若AB=4,求△DNF的周长及sin∠DAF的值;
(2)求证:2AD•NF=DE•DM.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵点E、F分别是BC、CD的中点,
∴EC=DF=
1
2
×4=2,
由勾股定理得,DE=
22+42
=2
5

∵点F是CD的中点,点N为DE的中点,
∴DN=
1
2
DE=
1
2
×2
5
=
5

NF=
1
2
EC=
1
2
×2=1,
∴△DNF的周长=1+
5
+2=3+
5

在Rt△ADF中,由勾股定理得,AF=
作业帮用户 2017-10-23 举报
问题解析
(1)根据线段中点定义求出EC=DF=2,再利用勾股定理列式求出DE,然后三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出NF,再求出DN,再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解;利用勾股定理列式求出AF,再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解;
(2)利用“边角边”证明△ADF和△DCE全等,根据全等三角形对应边相等可得AF=DE,全等三角形对应角相等可得∠DAF=∠CDE,再求出AF⊥DE,然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF=EC=2NF,然后根据∠DAF和∠CDE的余弦列式整理即可得证.
名师点评
本题考点:
正方形的性质;相似三角形的判定与性质;解直角三角形.
考点点评:
本题考查了正方形的性质,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的,全等三角形的判定与性质,解直角三角形,锐角三角函数的定义,(2)求出三角形全等,再根据等角的余弦相等列出等式求解更简便.
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