设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,连接点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线交曲线y=f(x)于点M(c,f(c)),其中a

Question

设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,连接点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线交曲线y=f(x)于点M(c,f(c)),其中a

Answer 1

∵f(x)在[a,b]上连续且二阶可导,点M(c,f(c))在f(x)上,∴f(x)在[a,c]上连续,根据拉格朗日中值定理,在[a,c]存在一点p,使得f'(p)*(a-c)=f(a)-f(b);同理在[c,b]上存在一点q,使得f'(q)*(c-b)=f(c)-f(b);
又∵A、M、B在同一直线上,所以f'(p)=f'(q);
∵f'(x)在[p,q],上连续,可导,根据拉格朗日中值定理,在[p,q],之间存在一n,使得f''(n)*(p-q)=f'(p)-f'(q)＝0,
∵p－q≠0
∴f''(n)=0,(证毕）
％％本证明过程不是很规范,因为是在线回答,格式不能得到很好控制,但思路可以和大家分享.