（2014•济宁二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．（1）求证：AE⊥平面BCD；（2）求二面角A-D

Question

（2014•济宁二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．
（1）求证：AE⊥平面BCD；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值；
（3）已知点M在线段AF上，且EM∥平面ADC，求(AM)/(AF)的值．

Answer 1

（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，
又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE⊂平面ABD，
∴AE⊥平面BCD．
（2）由（1）知AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，
由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD，
如图，以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系E-xyz，
设AB=BD=DC=AD=2，
则BE=ED=1，∴AE=√(3)，BC=2√(3)，BF=(√(3))/(3)，
则E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，√(3)），
F（(√(3))/(3)，0，0），C（√(3)，2，0），

DC

＝(

作业帮用户 2017-11-11 举报

问题解析

（1）由平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，AE⊥BD于E，能证明AE⊥平面BCD．
（2）以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法能求出二面角A-DC-B的余弦值．
（3）设

AM

＝λ

AF

，利用向量法能求出在线段AF上存在点M使EM∥平面ADC，且(AM)/(AF)＝(3)/(4)．

名师点评

本题考点：

与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．

考点点评：

本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

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